Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Примеры решений

Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений

  1. Находим ранг матрицы.
  2. Выделяем базисный минор. Выделяем зависимые (базисные) и свободные неизвестные.
  3. Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
  4. Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
  5. Решаем полученную систему методом исключения неизвестных. Находим соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.
  6. Если ранг матрицы не равен количеству переменных, то находим фундаментальное решение системы.
  7. В случае rang = n имеем тривиальное решение.

Видео

Система линейных уравнений и её решение

Определителем п-го порядка называется число записываемое в‘:виде квадратной таблицы

и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам которые называются элементами определителя (всего их ). Индекс указывает номер строки, а — номер столбца квадратной таблицы (1.1), на пересечении которых находится элемент ац. Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.

Главной диагональю определителя называется совокупность элементов

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Минором элемента называется определитель -го порядка полученный из определителя п-го порядка вычеркиванием строки и столбца.

Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством Значение определителя находится по следующему правилу.

Для

Величины —алгебраические дополнения, а

миноры определителя соответствующие его элементам Эти миноры являются определителями второго порядка, получаемыми из определителя вычеркиванием соответствующих строки и столбца. Например, чтобы найти минор следует в определителе вычеркнуть первую строку и второй столбец.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение слау

Решение систем линейных уравнений

Численные методы решения слау

Изменить порядок интегрирования

Для произвольного

где а миноры , являющиеся определителями порядка, получаются из вычеркиванием первой строки и столбца.

Например,

Замечание.

Если элементами определителя являются некоторые функции, то данный определитель, вообще говоря, тоже функция (но может быть и числом). Например,

Правило вычисления определителя равносильно правилу треугольников (правилу Саррюса):

Схематическая запись этого правила приведена ниже:

Например:

Перечислим основные свойства определителей:

1) сумма произведений элементов любого ряда определителя и их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равна этому определителю: Эти равенства можно было бы (как и формулу (1.4)) принять за правило вычисления определителя. Первое из них называется разложением по элементам строки, а второе — разложением по элементам столбца;

2) значение определителя не меняется после замены всех его строк соответствующими столбцами, и наоборот;

3) если поменять местами два параллельных ряда определителя, то он изменит знак на противоположный;

4) определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю;

5) если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то последний можно вынести за знак определителя. Отсюда следует, что если элементы какого-либо ряда умножить на число , то определитель умножится на это же число

6) если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель также равен нулю;

7) определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю;

8) сумма всех произведений элементов какого-либо ряда определителя и алгебраических дополнений соответствующих элементов другого параллельного ряда равна нулю, т. е. верны равенства: 9) если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором — из вторых слагаемых:

10) определитель не изменится, если ко всем элементам какого-либо его ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на одно ‘и то же произвольное число Например, для столбцов определителя это свойство выражается равенством

Рассмотрим основные методы вычисления определителей

1. Метод эффективного понижения порядка. В соответствии со свойством 4 вычисление определителя порядка сводится к вычислению п определителей порядка. Этот метод понижения порядка не эффективен. Используя основные свойства определителей, вычисление всегда можно свести к вычислению одного определителя -го порядка, сделав в каком-либо ряду все элементы, кроме одного, равными нулю. Покажем это на примере.

Матрицы и операции над ними

Прямоугольная таблица, составленная из элементов; некоторого множества, называется матрицей и записывается в виде

Элементы матрицы нумеруются 2 индексами. Первый индекс i элемента — обозначает номер строки, а второй / — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент в матрице. Матрицы обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,… Если у матрицы m строк и п столбцов, то по определению она имеет размерность . В случае необходимости это обозначается следующим образом:

Матрица называется числовой, если ее элементы — числа; функциональной, если — функции; векторной, если — векторы, и т. д. Матрицы А и В называются равными, если все их соответствующие элементы — и равны, т. е. Следовательно, равными могут быть только матрицы одинаковой размерности. Матрицы, у которых , называются квадратными. Если , то получаем матрицу-строку’, если , имеем матрицу-столбец. Их также называют вектор-строкой и вектор-столбцом соответственно.

Перечислим основные операции над матрицами

1. Сложение и вычитание матриц. Эти операции определяются только для матриц одинаковой размерности. Суммой (разностью) матриц А и В, обозначаемой, называется матрица С, элементы которой где — соответственно элементы матриц А и В, Например, пусть

2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А и числа , обозначаемым , называется матрица В той же размерности, элементы которой — элементы матрицы А, т. е. при умножении матрицы на число (числа на матрицу) надо все элементы матрицы умножить иа это число. Например, пусть

3. Умножение матриц. Произведением матриц называется матрица (нли проще АВ), элементы которой п

— элементы матриц А и В. Отсюда следует, что произведение АВ существует только в случае, когда первый множитель А имеет число столбцов, равное числу строк второго множителя В. Далее, число строк матрицы АВ равно числу строк А, а число столбцов — числу столбцов В. Из существования произведения АВ не следует существование произведения ВА. В случае его существования, как правило . Если то матрицы называются перестановочными (или коммутирующими). Известно, что всегда

Обратные матрицы. элементарные преобразования. ранг матрицы. теорема кронекера — капелли

Квадратная матрица порядка

называется невырожденной, если ее определитель (детерминант)

В случае, когда матрица А называется вырожденной.

Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы Матрица называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если где Е — единичная матрица порядка

Известно, что для А существует единственная обратная матрица , которая определяется формулой

Матрица А* называется присоединенной, ее элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы , т. е. матрицы, полученной из данной матрицы А заменой ее строк столбцами с теми же номерами:

Рассмотрим основные методы нахождения ранга матрицы

Метод единиц и нулей. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду, когда каждый ее ряд будет состоять только из нулей или из нулей и одной единицы. Тогда число оставшихся единиц и определит ранг исходной матрицы, так как полученная матрица будет эквивалентна исходной.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Матричный метод. Пусть для системы (1.13) и основная Матрица А вида (1.14)—невырожденная, т. е. Тогда для А существует единственная обратная матрица определяемая формулой (1.11). Введем в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных и свободных членов:

Тогда систему (1.13) можно записать в матричной форме: Умножив это матричное уравнение слева иа получим откуда Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение

Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные члены равны нулю. Если в системе хотя бы один из свободных членов ненулевой, то она называется неоднородной, другие же СЛАУ с нулевым $B$ наоборот однородны.

Однородные системы совместны, так как $x_1=x_2=…x_n=0$ будет решением для систем, имеющих особенность в виде нулевого столбца $B$. Иначе такая группа ответов называется нулевым или тривиальным способом решения.

Нетривиальными же называются ответы на СЛАУ, детерминант матрицы которой не $0$. В группе ответов таких систем хотя бы одно из неизвестных подходит под $x_i$ ≠ $0$. Для поиска детерминанта можно воспользоваться $LU$ разложениями, гаусовым методом или его модификацией в виде способа Жордана-Гаусса.

Исследования и решения системы линейных уравнений методами Гаусса и Жордана-Гаусса

Среди методов линейной алгебры, которые применяют к решению систем линейных уравнений, наиболее известными являются метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) и его модификация — метод полного исключения неизвестных (метод Жордана-Гаусса). Преимуществом этого метода является то, что исследования системы уравнений на совместимость осуществляется в сочетании с отысканием ее решения. 

Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований расширенную матрицу исходной системы линейных алгебраических уравнений за конечное число шагов (итераций) сводят к треугольному или трапециевидному виду. Такие преобразования называются прямым ходом метода Гаусса.

Алгоритм прямого хода метода Гаусса предусматривает такую последовательность действий.

1. Записывают расширенную матрицу системы:

Среди элементов  матрицы  существует хотя бы один,

Среди элементов матрицы существует хотя бы один, отличной от нуля, ибо в противном случае система не будет содержать неизвестное . Если , то первым в системе записывают то уравнение, в котором коэффициент при неравен нулю, и считают, что условие выполняется. Делят первую строчку расширенной матрицы на , получая новое значение этого элемента: . Теперь элементы нового первой строки последовательно помножають на числа  и  где , и добавляют результат к каждому элементу строк, расположенных ниже, в соответствии с иx номером . После этих преобразований получена матрицу, которая эквивалентна начальной. В первом столбцу этой матрицы первый элемент равен единице, а все остальные — нулю, то есть неизвестно исключен из всех строк за исключением первого. Результатом таких преобразований является система уравнений, имеет вид:

2. Если , то вторую строчку новой матрицы делят на

2. Если 3. С помощью последовательного осуществления анало, то вторую строчку новой матрицы делят на это число их получают перед неизвестным 3. С помощью последовательного осуществления анало коэффициент, равный единице. Далее с помощью второй строки путем элементарных преобразований меняют строки расширенной матрицы, расположенных ниже второго, таким образом, чтобы все они содержали во втором столбце одни нули. Итак, исключают неизвестное 3. С помощью последовательного осуществления анало из всех уравнений системы, кроме первого и второго.

3. С помощью последовательного осуществления аналогичных операций (итераций) в отношении остальных неизвестных основную матрицу системы при условии, что сводят к верхней треугольной:

или к трапециевидного вида, если :

или к трапециевидного вида, если :

4. Неизвестно  находят с последнего уравнения сист

4. Неизвестно Нахождение неизвестных по системе уравнений (3.10) находят с последнего уравнения системы (3.10) (для системы (3.11) это неизвестно Нахождение неизвестных по системе уравнений (3.10)) и подставляемые его в прежнее уравнение системы, из которого достает значения Нахождение неизвестных по системе уравнений (3.10) (или Нахождение неизвестных по системе уравнений (3.10), соответственно). Эта цепь последовательного определения неизвестных проводят до тех пор, пока из первого уравнения не достанут значение Нахождение неизвестных по системе уравнений (3.10).

Нахождение неизвестных по системе уравнений (3.10) или (3.11) путем последовательной подстановки найденных значений неизвестных в уравнения с меньшим номером и называют обратным ходом метода Гаусса. При применении метода Гаусса прямой ход выполняют на расширенной матрице или в специальной таблице, где записаны элементы расширен и матрицы, тогда как обратный — осуществляют на системе уравнений.

Если в результате элементарных преобразований основная матрица системы приобретает треугольного виду (и порядок совпадает с количеством неизвестных), то система уравнений имеет единственное решение. В случае трапециевидной матрицы система совместима, но неопределенная.

Если при выполнении прямого хода метода Гаусса получено противоречивое уравнение: Проведем исследование системы уравнений на совмест где Проведем исследование системы уравнений на совмест, то такая система несовместима.

Проведем исследование системы уравнений на совместимость и в случае ее совместимости найдем решение этой системы:

Запишем расширенную матрицу системы и проведем пря

Запишем расширенную матрицу системы и проведем прямой ход метода Гаусса:

Отсюда имеем:

Отсюда имеем:

Следовательно,  По теореме Кронекера-Капелли систе

Следовательно,  По теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместима и имеет множество решений. В этом случае решить систему значит найти ее общее решение. По трапециевидной расширенной матрицей запишем систему уравнений:

Поскольку коэффициенты при неизвестных  и  образую

Поскольку коэффициенты при неизвестных Теперь осуществляем обратный ход: и Теперь осуществляем обратный ход: образуют базисный минор, то именно эти неизвестные берем в качестве базисных, тогда неизвестные Теперь осуществляем обратный ход: и Теперь осуществляем обратный ход: есть свободными.

Теперь осуществляем обратный ход:

Записываем общее решение системы: 

Записываем общее решение системы: 

Если положить  соответствующее базисное решение .

Если положить Выполнение обратного хода по методу Гаусса, если е соответствующее базисное решение Выполнение обратного хода по методу Гаусса, если е. Поскольку среди его компонентов нету отрицательных, то это решение является опорным.

Выполнение обратного хода по методу Гаусса, если его рассматривать как дальнейшее преобразование расширенной матрицы системы, эквивалентной возведению основной матрицы системы к единичной. Именно в этом заключается суть метода полного исключения неизвестных, или метода Жордана-Гаусса.

Если с помощью элементарных преобразований свести основную матрицу системы (3.10) к единичной матрицы -го порядка (в этом случае ), то есть:

то получим единственное решение системы 

то получим единственное решение системы Если же , то результатом преобразований по методу

Если же , то результатом преобразований по методу Жордана-Гаусса является получение в основной матрице системы (3.11) единичной матрицы -го порядка

Такой вид системы линейных алгебраических уравнени

Такой вид системы линейных алгебраических уравнений дает возможность легко выразить базисные неизвестные через свободные.

Вернемся к предыдущему примеру и продолжим преобразования расширенной матрицы, чтобы получить в основной матрицы системы единичную:

По этой матрицей запишем систему уравнений:

По этой матрицей запишем систему уравнений:

Единичную матрицу образуют коэффициенты при неизве

Единичную матрицу образуют коэффициенты при неизвестных и поэтому эти неизвестные принимают за базисные, а неизвестные и свободны. Получаем такое общее решение системы уравнений:

Общее решение можно получить, выбирая базисными и

Общее решение можно получить, выбирая базисными и другие неизвестные. Например, выберем по базисные неизвестные и :

тогда получим:

тогда получим:

Количество общих решений совместной системы линейн

Количество общих решений совместной системы линейных алгебраических уравнений, ранг основной матрицы которой равен , определяется количеством ненулевых миноров порядка в основной матрице системы.

Вернемся к задаче об определении плана снабжения песка до трех стройплощадок.

При исследовании системы уравнений на совместимость по теореме Кронекера-Калелья на месте расширенной матрицы системы получено трапециевидную. Продолжим элементарные преобразования матрицы с целью получить в основной матрице системы единичную матрицу:

Единичную матрицу образуют первые четыре столбца,

Единичную матрицу образуют первые четыре столбца, поэтому за базисные неизвестные принимаем тогда  свободны. Соответствующее общее решение имеет вид:

Согласно постановкой задачи свободные неизвестные,

Согласно постановкой задачи свободные неизвестные, как и базисные, не могут принимать отрицательные значения.

Предоставим свободным неизвестным нулевые значения и получим базисное решение, который представлен в виде матрицы:

Это решение является опорным, поскольку все его эл

Это решение является опорным, поскольку все его элементы неотъемлемые.

Сравним суммы по строкам матрицы Элементарные преобразования расширенной матрицы си с запасами на складах, а суммы по столбцам — с потребностями стройплощадок (см. Табл. 3.1). Мы получили план, по которому все запасы со складов вывезены и все потребители удовлетворили свои потребности.

Элементарные преобразования расширенной матрицы системы линейных алгебраьiчних уравнений целесообразно осуществлять в таблице, содержащей кроме элементов расширенной матрицы дополнительный столбец, элементами которого являются суммы элементов каждой строки матрицы. Такие суммы называются контрольными суммами. Над контрольными суммами каждой строки выполняются те же операции, что и над всеми другими элементами этой строки, а полученный результат сравнивают с суммой элементов в строке после преобразования. Если ошибки в исчислении отсутствуют, то значение элементов столбца контрольных сумм совпадают с суммами элементов соответствующих преобразованных строк. Такая проверка позволяет контролировать правильность вычислений при выполнении каждого преобразования.

Рассмотрим решение системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса, реализация которого осуществляется в таблице, на примере системы уравнений:

Запишем коэффициенты при неизвестных и свободные ч

Запишем коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений в таблицу. Столбец Схема Жордана-Гаусса                              замечанияСхема Жордана-Гаусса                              содержит информацию о том, за какие именно преобразования было получено строку, рядом с которым записана примечание (табл. 3.2).

Схема Жордана-Гаусса                                                                                           Таблица 3.2

На место основной матрицы системы путем элементарн

На место основной матрицы системы путем элементарных преобразований получаем единичную матрицу третьего порядка. Это означает, что рангах как основной матрицы системы, так и расширенной равны трем. По теореме Кронекера-Капелли система совместима и имеет единственное решение. Согласно последней итерацией запишем решение системы:

Вернемся к математической модели задачи об использ

Вернемся к математической модели задачи об использовании ресурсов, приведенной в разделе 1 данного раздела:

Для решения этой системы можно применить любой из

Для решения этой системы можно применить любой из рассмотренных методов, так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля , соответственно, система имеет единственное решение:

Согласно экономического содержания задачи найденны

Согласно экономического содержания задачи найденные значения неизвестных должны быть целыми числами, поэтому окончательным ответом будет приближенное решение. Следовательно, для наиболее полного использования материальных ресурсов, имеющихся в наличии, предприятие должно выпускать: Замечания. Для решения реальных экономических зада= 20 электродвигателей AИP 80, Замечания. Для решения реальных экономических зада=32 электродвигатели AИP 90, Замечания. Для решения реальных экономических зада=17 электродвигателей AИP 100 и Замечания. Для решения реальных экономических зада=6 электронасосов БЦ 1,1-20.

Замечания. Для решения реальных экономических задач, математическими моделями которых СЛАУ с произвольными действительными коэффициентами и произвольным числом уравнений и неизвестных, используются пакеты таких приложений, как Matlab, Mathcad, Mathematica, Maple и др.

С помощью метода Жордана-Гаусса можно найти матрицу, обратную к данной, если она существует.

Пусть матрица является матрицей, обратной к матрице , однако ее элементы неизвестны . По определению обратной матрицы запишем матричное равенство. 

Обозначим -й столбец обратной матрицы  через  а

Обозначим Умножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат-й столбец обратной матрицы Умножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат через 
а матрицы Умножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат — через Умножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат, и считать иx элементами соответствующих матриц. Тогда эти матрицы можно записать в виде: Умножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат, Умножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат. Учитывая правило умножения матриц, равенство (3.14) можно рассматривать как Умножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат систем линейных алгебраических уравнений Умножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат Умножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат для определения столбцов матрицы Умножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат. Для всех этих систем основной матрицей является матрица Умножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат, а отличаются они только столбцом свободных членовУмножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат, поэтому процесс преобразования расширенных матриц этих систем Умножим обе части равенства (3.14) на , где  - мат можно проводить для всех матриц одновременно.

Умножим обе части равенства (3.14) на , где — матрица, которая является обратной к матрице . Тогда имеем . Поскольку , то получаем новую равенство: , или 

Отсюда следует способ нахождения обратной матрицы

Отсюда следует способ нахождения обратной матрицы методом Жордана-Гаусса: в данной матрице  дело дописывают единичную матрицу, а дальше по пути элементарных преобразований матрицы на месте исходной матрицы получают единичную, тогда на место единичной и содержится матрица :

Применим этот метод для определения матрицы, обрат

Применим этот метод для определения матрицы, обратной к матрице

Допишем к матрице  справа единичную матрицу и пров

Допишем к матрице справа единичную матрицу и проведем элементарные преобразования таким образом, чтобы на месте матрицы получить единичную:

Отсюда получаем

Отсюда получаем

Вычисления можно проводить в таблице с использован

Вычисления можно проводить в таблице с использованием контрольных сумм. Если в процессе элементарных преобразований матрицы контроль не осуществлялся, то после определения обратной матрицы следует проверить, выполняется ли соотношение 

Таким образом, проверка подтвердила, что найденная

Таким образом, проверка подтвердила, что найденная матрица действительно является обратной к исходной матрице.

Теги

Adblock
detector