ОДЗ в дробных уравнениях

Допустимые и недопустимые значения переменных

Определение области допустимых значений переменных для выражения дается через термин допустимые значения переменной. Введем это вспомогательное определение, для чего проследим, что нас приводит к нему.

На уроках математики в школе вплоть до 7 класса познаются азы работы преимущественно с числами и числовыми выражениями. А с 7 класса начинается изучение такой математической дисциплины как алгебра, и начинается оно с того, что вводится определение выражения с переменными, а также связанное с ним определение значения выражения при выбранных значениях переменных.

Последнее определение нуждается в уточнении следующего плана. Существуют выражения, значения которых при некоторых выбранных значениях переменных вычислить невозможно. Например, невозможно вычислить значение выражения 1:a при a=0, так как делить на нуль нельзя. Это послужило причиной введения в обиход терминов «выражение, имеющее смысл при данных значениях переменных» и «выражение, не имеющее смысла при данных значениях переменных». Говорят, что

Определение.

выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение

и

Определение.

выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.

Вот теперь мы обладаем всеми сведениями, позволяющими дать определение допустимых и недопустимых значений переменных:

Определение.

Допустимые значения переменных – это такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл. А значения переменных, при которых выражение не имеет смысла, называют недопустимыми значениями переменных.

Здесь лишь стоит уточнить, что если выражение содержит две, три, и большее число переменных, то речь идет о парах, тройках и т.д. допустимых значений переменных. Приведем пример. Рассмотрим выражение x с тремя переменными x, y и z. Тройка значений переменных x=0, y=1, z=2, она же в другой записи (0, 1, 2), является допустимой, так как при данных значениях переменных мы можем найти значение выражения: (1, 2, 1). А тройка (1, 2, 1) – недопустимая, так как при подстановке этих значений в выражение   	Определения, озвученные в этом пункте, полность мы придем к делению на нуль:   	Определения, озвученные в этом пункте, полность.

Определения, озвученные в этом пункте, полностью согласуются с информацией из учебников [1, с. 6; 2, с. 11-12; 3, c. 4].

К началу страницы

Видео

Как найти ОДЗ: примеры, решения

Чтобы найти область допустимых значений для какой-либо функции, не имеет смысла перебирать все числа, при подстановке которых ее можно решить. Рациональнее найти те значения, при которых функция не имеет смысла и исключить их из всего множества чисел.

Общие принципы нахождения области допустимых значений

  • деление на 0. Практически во всех стандартных математических выражениях такая операция не имеет смысла. У этого действия есть конкретный результат только при нахождении предела последовательности или функции. Пример бессмысленных выражений: \(y=\frac50;\)
  • извлечение корня из отрицательного числа. При работе с действительными числами, найти корень любой степени отрицательного числа невозможно. Эта операция приобретает смысл только при переходе к комплексным числам. Пример: \(y=\sqrt{-11};\)
  • возведение в степень. У данного действия есть свои ограничения: нельзя возводить 0 в отрицательную и нулевую степень, отрицательные числа в положительную дробную степень и неположительные (отрицательные и 0) в дробную степень со знаком минус. Примеры: \(y=0^{-3};\;y=0^0;\;y=({-7}^{\textstyle\frac32});\;y=({-6}^{-{\textstyle\frac17}});\)
  • нахождение логарифма. Так как логарифм равняется степени, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить логарифмируемое число, некоторые операции не имеют смысла. К ним относятся логарифмирование неположительного числа, положительного числа по отрицательному основанию или единице. Примеры:\( y=\log_3\left(-9\right);\;y=\log_2\left(0\right);\;y=\log_{-4}\left(64\right);\;y=\log_1\left(5\right);\)
  • тригонометрические функции. Для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса никаких ограничений нет. Но для тангенса, котангенса, арксинуса и арккосинуса они появляются, исходя из их формул. Так как тангенс является частным при делении синуса на косинус, последний не может равняться нулю. То же самое справедливо и для котангенса, но там уже синус не должен принимать значение 0. Арксинус и арккосинус могут быть определены только в промежутке от -1 до 1 включительно — \(\lbrack-1;\;1\rbrack.\)

Пример . Найти область определения функции\(y=\sqrt{-x^}\)

Из обозначенных выше принципов следует, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, значит 1-x^2\geq0. Приведем данное неравенство к общему виду: \(1-x^2\geq0\Rightarrow1\geq x^2\Rightarrow x^2\leq1\)

Вычислим квадратный корень для обеих частей неравенства:

\(x^2\leq1\Rightarrow\sqrt{x^2}\leq\sqrt1\Rightarrow\left|x\right|\leq1\)

Раскроем модуль согласно правилу:

\(\left|x\right|\leq1\Rightarrow-1\leq x\leq1\)

Из этого следует, что область допустимых значений функции \(y=\sqrt{1-x^2}\) лежит в пределах между -1 и 1, включая эти числа. Таким образом, ОДЗ данной функции: \(x\in\lbrack-1;\;1\rbrack\)

Пример . Найти ОДЗ функции\(y=\lg\left(x\right)\)

\(\lg\left(x\right)\) является краткой формой записи десятичного логарифма \(\log_{10}\left(x\right)\). Так как 10 — положительное число, не равное единице, единственным условием остается x>0. Таким образом, область определения функции \(y=\lg\left(x\right)\) будет включать в себя все числа в промежутке от нуля до \(+\infty\). Так как неравенство x>0 — строгое, ОДЗ будет иметь следующий вид: \(x\in(0;\;+\infty)\).

Как найти ОДЗ: примеры решения

Найти ОДЗ — это значит, что нужно указать все допустимые значения переменных для выражения. Часто, чтобы найти ОДЗ, нужно выполнить преобразование выражения.

Чтобы быстро и верно определять ОДЗ, запомните условия, при которых значение выражения не может быть найдено. 

Мы не можем вычислить значение выражения, если:

  • требуется извлечение квадратного корня из отрицательного числа;
  • присутствует деление на ноль (математическое правило номер раз: никогда не делите на ноль).

Теперь, приступая к поиску ОДЗ, вы можете сверять выражение по всем этим пунктам. 

Давайте потренируемся находить ОДЗ.

Пример 4

Найдем область допустимых значений переменной выражения a3 + 4 * a * b − 6.

Как решаем:

В куб возводится любое число. Ограничений при вычитании и сложении нет. Это значит, что мы можем вычислить значение выражения a3 + 4 * a * b − 6 при любых значениях переменной. 

ОДЗ переменных  a и b — это множество таких пар допустимых значений (a, b), где a — любое число и  b — любое число. 

Ответ: (a и b), где a — любое число и b — любое число.

Пример 5

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной выражения  Здесь нужно обратить внимание на наличие нуля в зн

Здесь нужно обратить внимание на наличие нуля в знаменатели дроби. Одним из условий, при котором вычисление значения выражения невозможно явлется наличие деления на ноль. 

Это значит, что мы может сказать, что ОДЗ переменной a в выражении Пустое множество изображается в виде вот такого си — пустое множество.

Пустое множество изображается в виде вот такого символа Ø.

Пример 6

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменных в выражении Если  есть квадратный корень, то нам нужно сл

Если  есть квадратный корень, то нам нужно следить за тем, чтобы под знаком корня не было отрицательного числа. Это значит, что при подстановке значений a и b должны быть условия, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.

Ответ: ОДЗ переменных a и b — это множество всех пар, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.

Лайфхак

Чтобы не потратить зря время на решение нерешаемого примера, всегда обращайтесь к списку условий, при которых выражение не может быть решено.

Запомните

  • Если число входит в ОДЗ, то около числа ставим квадратные скобки.
  • Если число не входит в ОДЗ, то около него ставятся круглые скобки. 

Например, если х > 6, но х < 8, то  записываем интервал [6; 8).

Домен и диапазон

Домен и диапазон функции — это все возможные значения независимой переменной x, для которой определено y.Диапазон функции — это все возможные значения зависимой переменной y.

В приведенном ниже примере показаны два различных способа представления функции: в виде таблицы функций и в виде набора координат.

или {(2, 4), (3, 8), (5,2), (6,9), (8,3)}

Несмотря на то, что они представлены по-разному, это одна и та же функция, а область определения функции — x = {2, 3, 5, 6, 8}, а диапазон — y = {4, 8, 2, 9, 3}.Вот как вы можете определить домен и диапазон для дискретных функций. Порядок, в котором вы указываете значения, не имеет значения. Но как определить домен и диапазон для недискретных функций?

Пример:

f (x) = x 2

Функция f (x) = x 2 имеет область значений всех действительных чисел (x может быть любым) и диапазон, который больше или равен нулю.

Два способа записи домена и диапазона функции: интервальная нотация и заданная нотация.

Интервальное обозначение

При использовании обозначения интервалов домен и диапазон записываются как интервалы значений. Для f (x) = x 2 домен в интервальной записи:

D: (-∞, ∞)

D означает, что вы говорите о домене, а (-∞, ∞), читаемое как от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности, — это еще один способ сказать, что домен — это «все действительные числа».

Диапазон f (x) = x 2 в интервальной записи:

R: [0, ∞)

R означает, что вы говорите о диапазоне.Обратите внимание, что вместо скобок для 0 используется скобка. Это связано с тем, что диапазон функции включает 0 при x = 0. Диапазон функции исключает ∞ (это делает каждая функция), поэтому мы используем круглую скобку.

На графике вы знаете, когда функция включает или исключает конечную точку, потому что конечная точка будет открытой или закрытой.

Установить обозначение

При использовании обозначения набора мы используем символы неравенства для описания области и диапазона как набора значений. Домены и диапазоны, использованные в примерах дискретных функций, были упрощенными версиями обозначений множеств.В обозначениях множеств используется много разных символов, но здесь будут представлены только самые основные структуры.

Область значений f (x) = x 2 в заданных обозначениях:

D: {x | x∈ℝ}

Опять же, D указывает на домен. Знак «|» означает «такое, что» символ ∈ означает «элемент из», а «ℝ» означает «все действительные числа».

Собирая все вместе, это утверждение может быть прочитано как «домен — это набор всех x таких, что x является элементом всех действительных чисел».

Диапазон f (x) = x 2 в заданных обозначениях:

R: {y | y ≥ 0}

R указывает дальность действия.При использовании обозначения набора символы неравенства, такие как ≥, используются для описания области и диапазона. Следовательно, это утверждение может быть прочитано как «диапазон — это набор всех y таких, что y больше или равно нулю».

No related posts.

Теги

Adblock
detector