Трапеция. Свойства, признаки, площадь. Средняя линия трапеции

Свойства равнобедренной трапеции

Существует всего несколько основных свойств, присущих именно данной фигуре. Сейчас мы рассмотрим каждое из них:

  1. Прямая, которая проходит через середину оснований такой трапеции, является ее осью симметрии, а также она перпендикулярна ее основаниям.
  2. Углы при основаниях трапеции равны.
  3. У равнобедренной трапеции также равны и длины диагоналей. Если диагонали перпендикулярны, тогда высота трапеции будет равна сумме основания, деленной на 2.
  4. Диагональ разбивает фигуру на 2 треугольника.
  5. Биссектрисы углов, принадлежащих одной и той же боковой стороне, всегда перпендикулярны друг другу.
  6. Если мы опустим высоту на большее из оснований трапеции, то получим в итоге 2 отрезка АЕ и ЕВ: 

Первый отрезок АЕ будет равен сумме оснований, деленной на 2, а второй отрезок ЕВ — разности, разделенной на 2:

Видео

Средняя линия равнобедренной трапеции

 

1. Формула средней линии равнобедренной трапеции через основания

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия

 

 

Формула средней линии, (m):

 

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — боковая сторона

α — угол при нижнем осровании

h — высота трапеции

m — средняя линия

 

Формулы средней линии трапеции, (m):

 

3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

 

d — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия

 

Формула средней линии трапеции, (m):

 

4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

 

S — площадь трапеции

h — высота трапеции

α — угол при нижнем осровании

m — средняя линия

 

Формула средней линии трапеции, (m):

 

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180: α + β = 180 и γ + δ = 180.
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90, длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2.
  3. Если через стороны  угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, при решении задачи будет полезен следующий теоретический материал.

1. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований.           

 

Проведем  через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с CF.

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

Четырехугольник  BCFD — параллелограмм ( BC∥DF как основания трапеции, BD∥CF по построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.  

Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, то есть треугольник ACF — равнобедренный с основанием AF. Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то

   

что в общем виде можно записать как

   

где h — высота трапеции, a и b — ее основания.

2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.

Так как средняя линия трапеции m равна полусумме оснований, то

   

3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты трапеции (или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).

Так как площадь трапеции находится по формуле

   

а высота, полусумма оснований и средняя линия равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равны между собой:

   

то

   

   

   

4. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также  удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.

Так как площадь выпуклого четырехугольника можно найти через его диагонали и угол между ними по формуле

   

sin 90º =1, и диагонали равнобедренной трапеции равны, то площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна

   

откуда

   

   

Что такое трапеция?

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Вот, смотри:

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ?

А вот и нет. Тогда это получится не трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма)

Высота трапеции

Высотой трапеции называется самый короткий по длине отрезок, который продолжается ровно от одного основания до другого. Он выполняет своеобразную вспомогательную роль в задачах вплоть до 10 класса с неизвестными сторонами и в тех задачах, где нужно дополнить фигуру до прямоугольника, например.

 Для нахождения длины этого отрезка нам необходимо

Для нахождения длины этого отрезка нам необходимо знать оба основания (a и b), а также боковую сторону c. Также полезно было бы знать угол при большем основании α. Формулы здесь довольно простые и не нуждаются в доказательстве.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180. Поэтому КАН = 30 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30. Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: SАКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см2.

Теги

Adblock
detector