Ученический проект по теме"Римская система счисления"

Сложение чисел с фиксированной запятой

Алгебраическое сложение чисел с фиксированной запятой в цифровых машинах может производиться в одном из машинных кодов: прямом, дополнительном или обратном. Чаще всего используется либо дополнительный, либо обратный код. При этом знаковый разряд и цифровая часть числа рассматривается как единое целое, в результате чего с отрицательными числами машина оперирует как с положительными, независимо от того, представлены ли они в виде правильных дробей или в виде целых чисел. Главное достоинство дополнительного и обратного кодов заключается в том, что правильный знак суммы получается автоматически в процессе суммирования знаковых цифр операндов и цифры переноса из соседнего младшего разряда. В случае возникновения единицы переноса из знакового разряда суммы ее нужно отбросить при сложении в дополнительном коде и прибавить к младшему разряду суммы при сложении в обратном коде (т. е. произвести циклический перенос единицы переполнения).

Алгебраическое сложение много разрядных чисел обычно организуется как регулярный процесс, состоящий из n одинаковых операций поразрядного сложения вычитания, где n- количество разрядов в каждом из операндов).

При этом в зависимости от знаков слагаемых возможны четыре случая:

1) Х1 > 0, Х2 > 0, Х3 = Х1 + Х2 > 0;

2) Х1 > 0, Х2 < 0, Х3 = Х1 + Х2 > 0;

3) Х1 > 0, Х2 < 0, Х3 = Х1 + Х2 < 0;

4) Х1 < 0, Х2 < 0, Х3 = Х1 + Х2 < 0;

Примеры сложения чисел с фиксированной запятой были рассмотрены выше.

Видео

Правила выполнения арифметических операций счислами

Производить такие арифметические действия, как сложение и вычитание чисел, записанных римскими цифрами, можно в столбик, как и с арабскими, при необходимости расписывая их подробнее, т. е. раскладывая на более мелкие составляющие.

Пример

XIX + ХХVI = XVIIII + XXVI = XXXXV = XLV.

Пример

D — CC LX III = CCCC LXXXX VIIIII — CC LX III = CC XXX VII.

Чтобы перемножить числа, нужно умножать одно число на каждую цифру другого по отдельности.

Пример

\(XXI\times L=XXI\times XXXXX=(X+X+I)\times(X+X+X+X+X)=MXXXXX=ML.\\\)

Также существует интересный и, возможно, более удобный способ с использованием таблицы. Нужно начертить таблицу с клетками, разделенными по диагонали чертой, над таблицей написать первое число, а справа от нее — второе. В каждую клетку таблицы нужно вписать произведение цифр над клеткой и справа от нее, размещая над косой чертой десятки, а под ней — единицы. Затем нужно сложить числа в каждой косой полосе, выполняя это справа налево.

Так как делитель нельзя разбить на слагаемые, при делении римских чисел каждое предположение придется проверять умножением. Чтобы выяснить первую цифру частного, умножаем делитель на сто. Если произведение больше делимого, значит, в частном нет сотен. Тогда умножаем делитель на десять, двадцать и т. д. Когда произведение оказывается больше делимого, это значит, что предыдущее вычисление было верным. Выяснив количество десятков в частном, отнимаем от делимого делитель, умноженный на результат верного вычисления. Получив остаток, тем же способом вычисляем количество единиц.

Пример

Вычислим \(\frac{МСLХХVI}{XXVIII}.\\\)

Решение

\(XXVIII\times С=MMDCCC\\\)

\(XXVIII\times X=ССLХХХ\\\)

\(XXVIII \times XX = СССС L L ХХХХХХ = D L X\)

\(XXVIII \times XXX = DCCC\)

\(XXVIII \times XXXX = DD LL XX = MCXX\)

\(XXVIII \times L = MCXX + ССLХХХ = МСССL ХХХХХ = МСD\)

Произведение больше делимого, теперь производим вычисления с остатком:

\(MCLXXVI — MCXX = LVI\)

\(XXVIII \times I = XXVIII\)

\(XXVIII \times II = ХХХХVVIIIIII = LVI\)

Теперь, выяснив количество десятков и единиц в частном, получаем:

\(\frac{МСLХХVI}{XXVIII} = ХLII\)

Правила выполнения арифметических операций с числами

  1. Сложение и вычитание.

    Сложить два римских числа достаточно просто. Например:

    $XIX + XXVI = XXXV$

    Сложение выполняется в следующей последовательности:

    а) $IX + VI = XV$ ($I$ после $V$ «уничтожает» $I$ перед $X$);

    б) $X + XX = XXX$ (при добавлении еще одного $X$, получаем $XXXX$, или $XL$).

    Сложность вычитания римских чисел приблизительно такая же. Например, для вычитания из $500$ числа $263$ уменьшаемое число необходимо для начала разложить на более мелкие составляющие, а затем сократить повторяющиеся в уменьшаемом и вычитаемом знаки:

    $D — CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII — CCLXIII = CCXXXVII$

  2. Умножение.

    С умножением дело обстояло гораздо сложнее.

    Допустим, требовалось умножить $126$ на $37$ (у римлян знаков действий не было, названия действий писали словами).

    $CXXVI \cdot XXXVII$

    Приходилось умножать множимое на каждую цифру множителя отдельно, а затем складывать все произведения.

    Такая техника выполнения умножения аналогична умножению многочленов.

  3. Деление.

    Выполнение деления было очень сложным в римской системе счисления. Для этого использовался специальный инструмент – абак (древние счеты). Только высоко образованные люди умели и могли работать с ним.

История происхождения систем счисления

В древние времена людям приходилось рассчитывать на пальцы. Кроме пальцев, нужно было сосчитать много испытуемых, на счету было больше участников. Один считал единицы, второй — дюжины, третий — сотни. Очевидно, что такой расчет лег в основу принятой почти всеми народами системы вычислений, называемой десятичной системой. Расчет с базовой десяткой также применим к восточным славянам.

Там, где люди ходили босиком, их пальцы легко сосчитать до 20. Следы использования при подсчете до 20, например, во французском число 80 в буквальном переводе на русский звучит как «четырежды двадцать».

Были также распределены десятки аккаунтов, т.е. аккаунт, на котором использовалась система базы 12. Его происхождение связано с 12 фалангами на четырех пальцах (кроме большого). Даже сейчас некоторые пункты все еще считаются десятками. Столовые приборы состоят из полдюжины или дюжины комплектов.

В древнем Вавилоне, где математика была очень высоко развита, существовала очень сложная шестнадцатеричная система счисления. В настоящее время мы также используем эту систему. Например: 1 час=60 минут; 1 минута=60 секунд.

Самой старой из систем пальцев считается система с пятью пальцами. Эта система родилась и наиболее широко используется в Америке. Его происхождение восходит к эпохе, когда человек считал на пальцах одной руки. До недавнего времени некоторые племена сохранили пятипальцевую систему счисления в чистом виде.

Таким образом, все системы (пятикратные, двенадцатикратные, двадцати четырехкратные) соединены одним или другим способом счета пальцев ног (или рук и ног). Переход человека к счету пальцев привел к созданию различных систем подсчета. /1/

Позиционные номера

В системах подсчета позиций вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения в последовательности цифр, представляющих число. Каждая система позиций характеризуется своей базой. Основой системы нумерации элементов является количество различных символов или символов, используемых для представления цифр в этой системе. Любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. — может быть принято за основу. Следовательно, возможны бесконечные системы позиций: двоичные, состоящие из чисел 0 и 1; троичные, состоящие из чисел 0,1,2; и так далее.

Системы позиционирования удобны тем, что позволяют захватывать большие числа с небольшим количеством символов при выполнении простых и легко выполняемых арифметических операций.

Достоинства и недостатки в сравнении с позиционными отображениями

К плюсу римской нотации можно отнести, что с помощью неё легко производить арифметические действия с маленькими значениями. Минусов же у неё намного больше, ими являются все недостатки непозиционных форматов, такие как:

  1. Нет отображения «пустоты» – нуля;
  2. Громоздкость отображения больших величин;
  3. Отсутствует представление дробных значений;
  4. Сложности при выполнении таких операций как умножение и деления.

Все эти минусы привели к тому, что на данный момент главенствующим является более совершенный позиционный формат (например, позиционный двоичный или десятеричный способ отображения количественных величин). Именно он используется в точных науках – математике и информатике. Однако нотация кое-где применяется и сейчас.

Теги

Adblock
detector